Geometria é uma das matérias mais frequentes na prova de Matemática do Enem e nos vestibulares do país. Por isso, preparamos uma revisão para você. A seguir, veja um resumo com as informações mais importantes e as principais fórmulas sobre Geometria plana, espacial e analítica (no final do post).

Em cada tópico da revisão, assista também à aula grátis 😍 sobre o assunto. Todas as imagens das fórmulas foram retiradas das aulas do Geekie Games.

Estudar Geometria

O que é Geometria?

Geometria é a área da Matemática que estuda as formas dos objetos, analisa suas dimensões e suas posições. A palavra é formada por “geo” (terra) + “metria” (medida), então significa medida da terra.

Acredita-se que a Geometria nasceu em diferentes lugares a partir do século VII a.C. Na Antiguidade, o estudo foi muito útil para resolver problemas de Astronomia. Por exemplo: saber a posição das estrelas pode ser utilizado para identificar a sua localização na Terra.

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Tipos de Geometria

1. Geometria plana

É a área da matemática que estuda as formas que não possuem volume. Triângulos, quadriláteros, retângulos, circunferências são alguns exemplos de figuras de geometria plana (polígonos).

Para começar, veja a aula de geometria sobre ângulos. Aprenda sobre bissetriz, ângulos complementares, suplementares, ângulos opostos pelo vértice e operações com ângulos.

Para geometria plana, é importante saber calcular a área, o perímetro e o(s) lado(s) de uma figura a partir das relações entre os ângulos e as outras medidas da forma geométrica. Veja as principais fórmulas para o cálculo de área e perímetro no final do post.

Leia também: Como fazer cálculos mentais rapidamente?

Algumas fórmulas de geometria plana:

1. Teorema de Pitágoras

Uma das fórmulas mais importantes para esta frente matemática é o Teorema de Pitágoras.

Estudar Teorema de Pitágoras

Geometria plana: Teorema de Pitágoras

Em um triângulo retângulo (com um ângulo de 90º), a soma dos quadrados dos catetos (os “lados” que formam o ângulo reto) é igual ao quadrado da hipotenusa (a aresta maior da figura).

Teorema de Pitágoras: a² + b² = c² 

2. Lei dos Senos

Lembre que o Teorema de Pitágoras é válido apenas para triângulos retângulos. A lei dos senos e lei dos cossenos existe para facilitar os cálculos para todos os tipos de triângulos.

Veja a fórmula abaixo. Onde a, b e c são lados do triângulo.

Lei dos senos

Lei dos senos

Estudar Lei dos Senos

3. Lei dos Cossenos

A lei dos cossenos pode ser utilizada para qualquer tipo de triângulo, mesmo que ele não tenha um ângulo de 90º. Basta conhecer o cosseno de um dos ângulos e o valor de dois lados (arestas) do triângulo.

Veja a fórmula abaixo. Onde a, b e c são lados do triângulo.

Lei dos cossenos

Lei dos cossenos

Estudar Lei dos Cossenos

4. Relações métricas do triângulo retângulo

As relações trigonométricas no triângulo retângulo são fórmulas simplificadas. Elas podem facilitar a resolução das questões em que o Teorema de Pitágoras é aplicável.

Para um triângulo retângulo, sua altura relativa à hipotenusa e as projeções ortogonais dos catetos, temos o seguinte:

Onde a é hipotenusa
b e c são catetos
m e n são projeções ortogonais
h é altura

Geometria plana: Relações métricas no triângulo retângulo

2. Geometria espacial 

É a frente matemática que estuda a geometria no espaço. Ou seja, é o estudo das formas que possuem três dimensões: comprimento, largura e altura.

Apenas as figuras de geometria espacial têm volume.

Uma das primeiras figuras geométricas que você estuda em geometria espacial é o prisma. Ele é uma figura formada por retângulos, e duas bases. Outros exemplos de figuras de geometria espacial são cubos, paralelepípedos, pirâmides, cones, cilindros e esferas. Veja a aula de Geometria espacial sobre prismaesfera

3. Geometria analítica

geometria-analitica2

A geometria analítica utiliza coordenadas e funções do plano cartesiano para solucionar perguntas matemáticas. É a área da matemática que relaciona a álgebra com a geometria. A álgebra utiliza variáveis para representar os números e u utiliza fórmulas matemáticas.

Conhecer essa frente da matemática também é importante para resolver questões de Física. Por exemplo, o cálculo da área em um plano cartesiano pode informar o deslocamento (ΔS) se o eixo x e o eixo y informarem a velocidade e o tempo.

O primeiro passo para estudar essa matéria é aprender o conceito de ponto e reta.

Um ponto determina uma posição no espaço.
Uma reta é um conjunto de pontos.
Um plano é um conjunto infinito com duas dimensões.

Veja a aula de Geometria analítica sobre ponto e reta, com videoaula, exercícios resolvidos e revisão.

Entender a relação entre ponto, reta e plano é importante para resolver questões com coordenadas no plano cartesiano, mas também para responder perguntas sobre a definição de ponto, reta e plano, e a posição relativa entre retas, reta e plano e planos.

Para representar um ponto (A, por exemplo) em um plano cartesiano, primeiro você deve indicar a posição no eixo x (horizontal) e depois no eixo y (vertical). Assim, segue as coordenadas seguem o modelo A (xa,ya).

Saiba mais no vídeo abaixo.

Leia também o resumo sobre Leis de Newton para entender como a Geometria Analítica é importante também para a Física.

E a Geometria no Enem?

Segundo a Matriz de Referência do Enem, existem sete grandes áreas de Matemática e Suas Tecnologias que são avaliadas na prova. A competência avaliada na área 2 (referente à Geometria) é:

“Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela”

O Enem 2018 espera que os seus conhecimentos geométricos sejam aplicados em questões que medem as seguintes habilidades:

  • Interpretar a localização e a movimentação de objetos no espaço tridimensional e sua representação no plano bidimensional.
  • Reconhecer as características de figuras planas ou espaciais.
  • Resolver situação-problema que requer conhecimentos de geometria de espaço e forma.
  • Aplicar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos para a solução de problemas do dia-a-dia.

Fórmulas de Geometria para o Enem 

Teorema de Tales

O Teorema de Tales é uma propriedade para retas paralelas.

teorema-tales

Fórmulas para cada figura de geometria:

Fórmulas básicas de geometria plana – Polígonos

O perímetro é a soma de todos os lados da figura, ou seja, o comprimento do polígono.

Onde A é a área da figura, veja as principais fórmulas:

Fórmulas dos principais polígonos

Fórmulas dos principais polígonos

Fórmulas da circunferência

Fórmulas da circunferência

Conversão para radiano, comprimento e área do círculo

Conversão de unidades: π  rad corresponde a 180°.
Comprimento de uma circunferência: C = 2 · π · R.
Área de uma circunferência: A = π · R2

Fórmulas de geometria espacial

Fórmula do Poliedro: Relação de Euler

Para saber a quantidade de vértices e arestas de uma figura espacial, utilize a Relação de Euler:
Onde V é o número de vértices, F é a quantidade de faces e A é a quantidade de arestas, temos:

V+F=A+2

Fórmulas da Esfera

Geometria espacial: fórmulas para a esfera

Fórmulas do cone

Onde r é o raio da base, g é a geratriz e H é a altura

Área lateral do cone: Š = π · R . g
Área da base do cone: A = π · R2
Área da superfície total do cone: S = Š + A
Volume do cone: V = 1/3 . A . H

Elementos do cone - Geometria Enem

                                                          Partes do cone

Fórmulas do cilindro

Fórmulas do cilindro para o Enem

Área da base de um cilindro: Ab = π · r2
Área da superfície lateral de um cilindro: Al = 2 · π · r · h
Volume de um cilindro: V = Ab · h = π · r2 · h
Secção meridiana: corte feito na “vertical”; a área desse corte será 2r · h

Veja a aula sobre cilindros

Fórmulas do prisma

O prisma é um sólido formado por laterais retangulares e duas bases. Na imagem a seguir, o prisma tem base retangular, sendo um paralelepípedo. O cubo é um paralelepípedo e um prisma.

Fórmulas do prisma

Fórmulas do prisma

Fórmulas da pirâmide regular

Fórmular da pirâmide regular - Geometria espacial

Pirâmide regular

Fórmulas do tetraedro regular

Fórmulas do tetraedro regular

Fórmulas do tetraedro regular

Fórmulas de geometria analítica básica

Equação fundamental da reta

A equação fundamental da reta que passa pelo ponto P (x0, y0) e tem coeficiente angular m é:

y – y= m(x – x0)

Equação reduzida e equação geral da reta

Geometria analitica: equação reduzida e equação geralDistância entre dois pontos

formula-geometria-analitica

Agora que você já sabe tudo sobre Geometria, que tal continuar seus estudos no Geekie Games? Você pode estudar o conteúdo que mais cai no Enem! <3